Equação de Transferência de Calor
Inicialmente, consideremos um domínio limitado \(\Omega \subset \mathbb{R}^d\), com fronteira suficientemente regular \(\partial \Omega = \Gamma_D \cup \Gamma_N \cup \Gamma_R\), com partes disjuntas duas a duas.
O problema forte consiste em encontrar a temperatura \(T:\Omega \rightarrow \mathbb{R}\) tal que:
\[\begin{equation} - \nabla \cdot (k \nabla T) = Q \quad \text{em } \Omega \end{equation}\]
onde:
\(k = k(\mathbf{x}) \in L^\infty(\Omega)\) é a condutividade térmica, com \(k(\mathbf{x}) > 0\) quase em todo ponto de \(\Omega\);
\(Q = Q(\mathbf{x}) \in L^2(\Omega)\) representa uma fonte volumétrica de calor;
\(\mathbf{n}\) é o vetor normal unitário externo à fronteira \(\partial \Omega\).
As condições de contorno são dadas por:
\[\begin{align} T &= T_\Gamma \quad \text{em } \Gamma_D \\ - k \nabla T \cdot \mathbf{n} &= q_\Gamma \quad \text{em } \Gamma_N \\ - k \nabla T \cdot \mathbf{n} &= h(T - T_\infty) \quad \text{em } \Gamma_R \end{align}\]
onde:
\(T_\Gamma\) é a temperatura prescrita na fronteira \(\Gamma_D\);
\(q_\Gamma\) é o fluxo de calor imposto na fronteira \(\Gamma_N\);
\(h \in L^\infty(\Gamma_R)\) é o coeficiente de troca térmica;
\(T_\infty\) é a temperatura do meio externo na condição de convecção.
As condições de contorno possuem as seguintes interpretações físicas:
Condição de Dirichlet (\(\Gamma_D\)): a temperatura é prescrita diretamente na fronteira. Representa, por exemplo, contato com uma superfície a temperatura controlada;
Condição de Neumann (\(\Gamma_N\)): o fluxo de calor normal à superfície é prescrito. Representa isolamento térmico (quando \(q_\Gamma = 0\)) ou imposição de fluxo;
Condição de Robin (\(\Gamma_R\)): combina temperatura e fluxo, modelando troca convectiva com o meio externo. Também é conhecida como condição mista.
Agora, definimos o espaço:
\[\begin{equation} \mathbb{V} = H^1(\Omega) = \left\{ v \in L^2(\Omega) : \nabla v \in L^2(\Omega)^d \right\} \end{equation}\]
onde \(L^2(\Omega)\) é definido por:
\[\begin{equation} L^2(\Omega) = \left\{ v:\Omega \rightarrow \mathbb{R}, \int_\Omega v^2 \, d\Omega < \infty \right\} \end{equation}\]
Definem-se os subespaços:
\[\begin{equation} \mathbb{V}_0 = \{ v \in \mathbb{V} : v = 0 \ \text{em } \Gamma_D \} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \mathbb{S}_{T_\Gamma} = \{ T \in \mathbb{V} : T = T_\Gamma \ \text{em } \Gamma_D \} \end{equation}\]
Note que as condições de Neumann e Robin são naturalmente incorporadas na formulação fraca, enquanto a condição de Dirichlet é imposta diretamente no espaço das soluções admissíveis.
Formulação Função Corrente–Vorticidade
Inicialmente, consideremos um domínio limitado \(\Omega \subset \mathbb{R}^2\), com fronteira suficientemente regular \(\partial \Omega\).
O problema consiste em encontrar a função corrente \(\psi:\Omega \rightarrow \mathbb{R}\) e a vorticidade \(\omega_z:\Omega \rightarrow \mathbb{R}\) tais que:
\[\begin{align} \nabla^2 \psi &= -\omega_z \quad \text{em } \Omega \\ \frac{\partial \omega_z}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \omega_z &= \nu \nabla^2 \omega_z \quad \text{em } \Omega \end{align}\]
onde:
\(\mathbf{u} = (u,v)\) é o campo de velocidade;
\(\psi\) é a função corrente, tal que: \[\begin{equation} \mathbf{u} = \left( \frac{\partial \psi}{\partial y}, -\frac{\partial \psi}{\partial x} \right), \end{equation}\] garantindo automaticamente a condição de incompressibilidade \(\nabla \cdot \mathbf{u} = 0\);
\(\omega_z = \big( \nabla \times \mathbf{u} \big) \cdot \mathbf{e}_z\) é a vorticidade escalar em 2D na direção perpendicular ao plano definido em \(\Omega\);
\(\nu > 0\) é a viscosidade cinemática do fluido;
\(\nabla^2\) representa o operador Laplaciano.
As equações possuem as seguintes interpretações:
a primeira equação é uma equação de Poisson que relaciona a função corrente com a vorticidade;
a segunda equação é uma equação de transporte-difusão da vorticidade.
Agora, definimos os espaços funcionais.
\[\begin{equation} L^2(\Omega) = \left\{ v:\Omega \rightarrow \mathbb{R}, \int_\Omega v^2 \, d\Omega < \infty \right\} \end{equation}\]
\[\begin{equation} H^1(\Omega) = \left\{ v \in L^2(\Omega) : \nabla v \in L^2(\Omega)^2 \right\} \end{equation}\]
Os espaços são definidos como:
\[\begin{equation} \mathbb{V}_\psi = H^1(\Omega), \qquad \mathbb{V}_{\omega_z} = H^1(\Omega) \end{equation}\]
Para a função corrente, impõe-se usualmente uma condição de Dirichlet:
\[\begin{equation} \psi = \psi_\Gamma \quad \text{em } \partial \Omega, \end{equation}\]
onde \(\psi_\Gamma\) é tipicamente constante em escoamentos confinados, garantindo a condição de impermeabilidade (\(\mathbf{u} \cdot \mathbf{n} = 0\)).
Para a vorticidade, podem ser adotadas diferentes condições de contorno, dependendo da modelagem e da estratégia numérica. Em particular, são frequentemente utilizadas:
Condição de Dirichlet homogênea: \[\begin{equation} \omega_z = 0 \quad \text{em } \partial \Omega, \end{equation}\]
Condição de Neumann homogênea: \[\begin{equation} \frac{\partial \omega_z}{\partial \mathbf{n}} = 0 \quad \text{em } \partial \Omega. \end{equation}\]
A escolha entre essas condições deve ser consistente com a física do problema e com a forma como as condições de contorno da velocidade são impostas.
Ressalta-se que a escolha do espaço \(H^1(\Omega)\) para ambas as variáveis garante a regularidade necessária para a formulação fraca das equações envolvidas.
Equações de Navier–Stokes Incompressíveis
Inicialmente, consideremos um domínio limitado \(\Omega \subset \mathbb{R}^d\), com fronteira suficientemente regular \(\partial \Omega = \Gamma_D \cup \Gamma_N\), com \(\Gamma_D \cap \Gamma_N = \emptyset\).
O problema forte consiste em encontrar o campo de velocidade \(\mathbf{u}:\Omega \rightarrow \mathbb{R}^d\) e a pressão \(p:\Omega \rightarrow \mathbb{R}\) tais que:
\[\begin{align} \rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right) &= -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} + \mathbf{f} \quad \text{em } \Omega \\ \nabla \cdot \mathbf{u} &= 0 \quad \text{em } \Omega \end{align}\]
onde:
\(\mathbf{u} = (u_1,\dots,u_d)\) é o campo de velocidade do fluido;
\(p\) é a pressão;
\(\rho > 0\) é a densidade do fluido;
\(\mu > 0\) é a viscosidade dinâmica;
\(\mathbf{f}:\Omega \rightarrow \mathbb{R}^d\) representa forças de corpo (por exemplo, gravidade);
\(\mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u}\) representa o termo convectivo não linear;
\(\nabla^2 \mathbf{u}\) é o operador Laplaciano aplicado componente a componente.
As condições de contorno são, em geral:
\[\begin{align} \mathbf{u} &= \mathbf{u}_\Gamma \quad \text{em } \Gamma_D \\ \left( -p\mathbf{I} + \mu \nabla \mathbf{u} \right)\mathbf{n} &= \mathbf{t}_\Gamma \quad \text{em } \Gamma_N \end{align}\]
onde:
\(\mathbf{u}_\Gamma\) é a velocidade prescrita na fronteira;
\(\mathbf{t}_\Gamma\) representa tensões (ou forças superficiais) impostas;
\(\mathbf{n}\) é o vetor normal unitário externo;
\(\mathbf{I}\) é o tensor identidade.
As condições de contorno possuem as seguintes interpretações:
Condição de Dirichlet (\(\Gamma_D\)): a velocidade é prescrita. Modela, por exemplo, paredes sólidas (condição de não deslizamento) ou entradas de escoamento;
Condição de Neumann (\(\Gamma_N\)): as tensões são prescritas. Pode representar saídas abertas ou condições de tração nula.
Agora, definimos os espaços funcionais.
\[\begin{equation} L^2(\Omega) = \left\{ q:\Omega \rightarrow \mathbb{R}, \int_\Omega q^2 \, d\Omega < \infty \right\} \end{equation}\]
\[\begin{equation} H^1(\Omega) = \left\{ v \in L^2(\Omega) : \nabla v \in L^2(\Omega)^d \right\} \end{equation}\]
\[\begin{equation} [H^1(\Omega)]^d = \left\{ \mathbf{v}= (v_1,\dots,v_d) : v_i \in H^1(\Omega) \right\} \end{equation}\]
Definem-se os espaços:
\[\begin{equation} \mathbb{V} = [H^1(\Omega)]^d \end{equation}\]
\[\begin{equation} \mathbb{Q} = L^2(\Omega) \end{equation}\]
Subespaços com condições de contorno:
\[\begin{equation} \mathbb{V}_{\mathbf{v}_\Gamma} = \left\{ \mathbf{v}\in \mathbb{V} : \mathbf{v}= \mathbf{v}_\Gamma \ \text{em } \Gamma_D \right\} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \mathbb{V}_0 = \left\{ \mathbf{v}\in \mathbb{V} : \mathbf{v}= \mathbf{0} \ \text{em } \Gamma_D \right\} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \mathbb{Q}_0 = \left\{ q \in \mathbb{Q} : \int_\Omega q \, d\Omega = 0 \right\} \end{equation}\]
Note que \(\mathbb{V} = [H^1(\Omega)]^d\) é o produto cartesiano de \(d\) espaços \(H^1(\Omega)\).
A condição \(\int_\Omega p \, d\Omega = 0\) é imposta para garantir a unicidade da pressão.
Ressalta-se que, na formulação variacional, os espaços discretos associados devem satisfazer a condição de compatibilidade (condição inf-sup), garantindo estabilidade e convergência do método numérico.
Equações da Quantidade de Movimento (Caso Geral Incompressível)
Inicialmente, consideremos um domínio limitado \(\Omega \subset \mathbb{R}^d\), com fronteira suficientemente regular \(\partial \Omega = \Gamma_D \cup \Gamma_N\), com \(\Gamma_D \cap \Gamma_N = \emptyset\).
O problema forte consiste em encontrar o campo de velocidade \(\mathbf{u}:\Omega \rightarrow \mathbb{R}^d\) e a pressão \(p:\Omega \rightarrow \mathbb{R}\) tais que:
\[\begin{align} \rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right) &= \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \mathbf{f} \quad \text{em } \Omega \\ \nabla \cdot \mathbf{u} &= 0 \quad \text{em } \Omega \end{align}\]
onde:
\(\mathbf{u} = (u_1,\dots,u_d)\) é o campo de velocidade;
\(p\) é a pressão;
\(\rho > 0\) é a densidade do fluido;
\(\mathbf{f}:\Omega \rightarrow \mathbb{R}^d\) representa forças de corpo;
\(\boldsymbol{\sigma}\) é o tensor de tensões de Cauchy;
\(\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma}\) representa a divergência do tensor de tensões.
Neste caso, não se assume uma forma constitutiva específica para o tensor de tensões. Assim, \(\boldsymbol{\sigma}\) deve ser definido a partir de uma relação constitutiva apropriada ao material considerado.
Em geral, pode-se decompor o tensor de tensões como:
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = -p\mathbf{I} + \boldsymbol{\tau}, \end{equation}\]
onde:
\(\mathbf{I}\) é o tensor identidade;
\(\boldsymbol{\tau}\) é o tensor de tensões desviador, dependente da cinemática do escoamento e do modelo constitutivo adotado.
As condições de contorno são, em geral:
\[\begin{align} \mathbf{u} &= \mathbf{u}_\Gamma \quad \text{em } \Gamma_D \\ \boldsymbol{\sigma} \mathbf{n} &= \mathbf{t}_\Gamma \quad \text{em } \Gamma_N \end{align}\]
onde:
\(\mathbf{u}_\Gamma\) é a velocidade prescrita;
\(\mathbf{t}_\Gamma\) representa as tensões impostas na fronteira;
\(\mathbf{n}\) é o vetor normal unitário externo.
As condições de contorno possuem as seguintes interpretações:
Condição de Dirichlet (\(\Gamma_D\)): a velocidade é prescrita (por exemplo, condição de não deslizamento ou entrada de escoamento);
Condição de Neumann (\(\Gamma_N\)): as tensões são prescritas (por exemplo, saída aberta ou tração nula).
Agora, definimos os espaços funcionais.
\[\begin{equation} L^2(\Omega) = \left\{ q:\Omega \rightarrow \mathbb{R}, \int_\Omega q^2 \, d\Omega < \infty \right\} \end{equation}\]
\[\begin{equation} H^1(\Omega) = \left\{ v \in L^2(\Omega) : \nabla v \in L^2(\Omega)^d \right\} \end{equation}\]
\[\begin{equation} [H^1(\Omega)]^d = \left\{ \mathbf{v}= (v_1,\dots,v_d) : v_i \in H^1(\Omega) \right\} \end{equation}\]
Definem-se os espaços:
\[\begin{equation} \mathbb{V} = [H^1(\Omega)]^d \end{equation}\]
\[\begin{equation} \mathbb{Q} = L^2(\Omega) \end{equation}\]
Subespaços com condições de contorno:
\[\begin{equation} \mathbb{V}_{\mathbf{v}_\Gamma} = \left\{ \mathbf{v}\in \mathbb{V} : \mathbf{v}= \mathbf{v}_\Gamma \ \text{em } \Gamma_D \right\} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \mathbb{V}_0 = \left\{ \mathbf{v}\in \mathbb{V} : \mathbf{v}= \mathbf{0} \ \text{em } \Gamma_D \right\} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \mathbb{Q}_0 = \left\{ q \in \mathbb{Q} : \int_\Omega q \, d\Omega = 0 \right\} \end{equation}\]
A condição \(\int_\Omega p \, d\Omega = 0\) garante a unicidade da pressão.
Ressalta-se que a escolha do modelo constitutivo para \(\boldsymbol{\tau}\) determina o comportamento reológico do material (por exemplo, fluido Newtoniano, viscoelástico, não-Newtoniano, entre outros), influenciando diretamente a forma final das equações e sua discretização.
Operador Laplace–Beltrami
Inicialmente, consideremos uma superfície suave, orientável e fechada \(\Gamma \subset \mathbb{R}^d\), com \(d=2\) ou \(d=3\), parametrizada pelo vetor posição \(\mathbf{x}:\Gamma \rightarrow \mathbb{R}^d\). Seja \(\mathbf{n}\) o vetor normal unitário à superfície.
Neste contexto, o vetor \(\mathbf{x} = (x_1,\dots,x_d)\) representa as coordenadas dos pontos discretos da malha de superfície, sendo utilizado para descrever a geometria da interface.
O problema forte consiste em encontrar \(\mathbf{x}\) tal que:
\[\begin{equation} - \nabla_\Gamma^2 \mathbf{x} = \mathbf{f} \quad \text{em } \Gamma, \end{equation}\]
onde:
\(\mathbf{f}:\Gamma \rightarrow \mathbb{R}^d\) é um campo vetorial definido sobre a superfície;
\(\nabla_\Gamma^2\) é o operador Laplace–Beltrami aplicado componente a componente: \[\begin{equation} \nabla_\Gamma^2 \mathbf{x} = \left( \nabla_\Gamma^2 x_1, \dots, \nabla_\Gamma^2 x_d \right); \end{equation}\]
\(\nabla_\Gamma\) é o operador gradiente tangencial, definido por: \[\begin{equation} \nabla_\Gamma \mathbf{x} = \nabla \mathbf{x} - (\nabla \mathbf{x} \cdot \mathbf{n}) \mathbf{n}. \end{equation}\]
No caso tridimensional (\(d=3\)), tem-se \(\mathbf{x} = (x,y,z)\) e o operador atua sobre cada componente da posição. No caso bidimensional (\(d=2\)), \(\Gamma\) representa uma curva no plano e \(\mathbf{x} = (x,y)\).
Do ponto de vista geométrico, o operador Laplace–Beltrami aplicado ao vetor posição está relacionado à curvatura média da superfície, sendo:
\[\begin{equation} \nabla_\Gamma^2 \mathbf{x} = 2H \mathbf{n}, \end{equation}\]
onde \(H\) é a curvatura média.
Agora, definimos os espaços funcionais.
\[\begin{equation} L^2(\Gamma) = \left\{ \mathbf{v}:\Gamma \rightarrow \mathbb{R}^d, \int_\Gamma |\mathbf{v}|^2 \, d\Gamma < \infty \right\} \end{equation}\]
\[\begin{equation} H^1(\Gamma) = \left\{ \mathbf{v} \in L^2(\Gamma) : \nabla_\Gamma \mathbf{v} \in L^2(\Gamma)^{d \times d} \right\} \end{equation}\]
Definimos então o espaço:
\[\begin{equation} \mathbb{V}_\Gamma = H^1(\Gamma) \end{equation}\]
Como \(\Gamma\) é uma superfície fechada, tem-se \(\partial \Gamma = \emptyset\), não sendo necessária a imposição de condições de contorno.
O operador \(\nabla_\Gamma^2\) possui núcleo associado a movimentos rígidos (translações). Para garantir unicidade, pode-se impor restrições como:
\[\begin{equation} \int_\Gamma \mathbf{x} \, d\Gamma = \mathbf{0}. \end{equation}\]
No contexto numérico, essa formulação é amplamente utilizada para suavização de malhas e evolução geométrica de interfaces, uma vez que o operador atua diretamente sobre as coordenadas nodais da superfície.